Ingenieurmathematik

Vorwort Margot Ruschitzka, Wolfgang Reckfort Ingenieurmathematik Vektor- und Infinitesimalrechnung für Bachelors ISBN: 978-3-446-41788-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41788-5 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München 5 Vorwort Liebe Leserin, lieber Leser, ob Sie es glauben oder nicht – Mathematik ist interessant – und wichtig für einen (Physiker), der wissen will, „was die Welt im Innersten zusammenhält“, und nützlich für einen (Ingenieur), der „die Welt verbessern will“. Mit diesem Buch möchten wir zeigen, wie abwechslungsreich sie ist und was man, abgesehen von den beliebten Kurvendiskussionen, alles mit Mathematik anfangen kann! Es ist mehr als verständlich, dass die Mathematikkenntnisse der Schule häufig teilweise verschüttet sind. Wir werden Rücksicht darauf nehmen und die not- wendigen Dinge wiederholen. Lediglich elementare Kenntnisse aus den Gebie- ten Arithmetik/Algebra und Geometrie/Trigonometrie sollten vorhanden sein. Bei der Beschäftigung mit der Mathematik entwickelt man Vorlieben, muss Vorlieben entwickeln: Das Gebiet ist einfach zu groß. Wir werden uns haupt- sächlich mit der angewandten Seite der Mathematik beschäftigen, gewisserma- ßen mit der Mathematik aus der Sicht eines Ingenieurs. Wir werden alles Notwendige „zu Fuß“ entwickeln. Erst wenn wir das Prinzip, den Begriff begriffen und an einfachen übersichtlichen Beispielen demonstriert haben, werden wir mit einiger Berechtigung einen Rechenknecht (Computer) einsetzen, um uns von langweiligen Wiederholungen zu befreien, Diagramme zeichnen zu lassen etc. Ein Buch sollte lesbar sein! Bei einem Mathematikbuch kann das nur heißen, dass bereits Text, Bilder und erläuternde Beispiele Sinn und Zweck des jeweils behandelten Gegenstands wiedergeben sollten. Natürlich gibt es ohne Formeln und einige geistige Anstrengung kein tieferes und verwertbares Verständnis. „Wasserdichte“ Definitionen und Beweise werden hier jedoch als zweitrangig angesehen. Mehr Zeit und Mühe wird auf Erklärung, Veranschaulichung, Ver- ständnis der wichtigen grundlegenden Begriffe (Grenzwert, Funktion, …) und Mechanismen (Differenziation, Integration, ...) gelegt – gewissermaßen Schul- stoff aus der Vogelperspektive! Erhebt sich die Frage: Was aber bleibt denn dann übrig von der ganzen Mathe- matik? 6 Vorwort Antwort: Das Wesentliche der Mathematik bleibt. Die grundsätzlichen Ideen, die wichtigen Begriffe, die originellen Beweise! Ferner bleibt übrig: Zeit! Zeit für Rück-, Seiten-, Aus- und Überblicke, Zeit für abwechslungsreiche Neben- wege, Zeit für interessante Anwendungen! Schlaflose Nächte hat uns die Entscheidung bereitet, welchen Stoff wir aufneh- men sollen. Ein Zuviel erzeugt Langeweile („Kenn ich schon alles!“), ein Zu- wenig bringt Frust („Versteh ich nicht!“). Beides würde dazu führen, dass man das Buch zuklappt und je nach Temperament ins Regal stellt oder in die Ecke wirft – was beides nicht in unserem Sinne wäre. Die Auswahl ist schließlich nach den sehr subjektiven Kriterien vorgenommen worden: Ist es interessant? – wichtig? – nützlich? (– in dieser Reihenfolge!). Aufgaben und Anwendungen sind möglichst dem Alltag entnommen, man be- hält dabei ein Gefühl für die Richtigkeit der Ergebnisse. Weiterführende An- merkungen zum Inhalt der jeweiligen Kapitel sind als Kleingedrucktes ergänzt. Sie bilden aber keine Voraussetzung, um das Thema zu verstehen. Trotz – oder gerade wegen der Kürze ist die Zielsetzung des Buches die Vorbe- reitung auf ein anwendungsorientiertes Studium: Der Stoff behandelt den Um- fang des vorauszusetzenden Wissens aus dem entsprechenden Blickwinkel. Zusätzlich zum Inhalt des Buches werden laufend neue Aufgaben mit Lösungen über die Homepage http://4c.web.fh-koeln.de ergänzt. Die Autoren bedanken sich bei Frau Christine Fritzsch und Frau Renate Roß- bach, deren engagiertes Eintreten die Herausgabe dieses Buches sehr gefördert hat. Herzlicher Dank gilt auch Frau Dipl.-Math. Beate Rhein, Frau cand. Ing. Anne Reck, und Herrn cand. Ing. Fabian Richter für die sehr zuverlässige Her- stellung der reproduktionsreifen Druckvorlage. Bei den Studierenden Frank Ettrich, Carola Buchwald, Anna Caspari und Patrick Leder bedanken wir uns für die erste Durchsicht des Manuskripts. Köln, im Juni 2009 Margot Ruschitzka Wolfgang Reckfort

Inhaltsverzeichnis Margot Ruschitzka, Wolfgang Reckfort Ingenieurmathematik Vektor- und Infinitesimalrechnung für Bachelors ISBN: 978-3-446-41788-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41788-5 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München 7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen ...................................................................................... 9 1.1 Mengen ..........................................................................................................9 1.2 Zahlen ..........................................................................................................10 1.3 Regeln ..........................................................................................................14 1.4 Binome .........................................................................................................19 1.5 Abstand ........................................................................................................21 1.6 Winkel..........................................................................................................22 2 Lineare Algebra ............................................................................. 26 2.1 Gleichungen .................................................................................................28 2.2 Betragsgleichungen......................................................................................39 2.3 Ungleichungen .............................................................................................40 2.4 Gleichungssysteme ......................................................................................43 2.5 Anwendungen ..............................................................................................51 3 Vektoren ......................................................................................... 56 3.1 Gerichtete Größen ........................................................................................57 3.2 Stabstatik......................................................................................................61 3.3 Hafenansteuerung bei Strom........................................................................64 3.4 Vektoren – trigonometrisch .........................................................................68 4 Vektorrechnung ............................................................................. 70 4.1 Arithmetik (gerechnete Geometrie) .............................................................70 4.2 Mast legen (Kraftzerlegung) ........................................................................79 4.3 Skalarprodukt ...............................................................................................83 4.4 Vektorprodukt ..............................................................................................87 4.5 Nützliches ....................................................................................................90 4.6 Geraden und Ebenen (Geometrie – Algebra)...............................................94 4.7 Schiffskollisionskurs – Vektoren in Bewegung.........................................108 5 Folgen........................................................................................... 114 5.1 Folgen und Grenzwert................................................................................114 5.2 Fundamentalfolgen und Regeln .................................................................118 6 Funktionen ................................................................................... 126 6.1 Darstellungsarten .......................................................................................128 8 Inhalt 6.2 Die Standardfunktionen ............................................................................. 133 6.3 Eigenschaften............................................................................................. 139 6.4 Umkehrfunktion......................................................................................... 143 6.5 Manipulation, Transformation................................................................... 146 6.6 Sonder- und Spezialfunktionen ................................................................. 150 6.7 Die Parameterform .................................................................................... 156 7 Differenzialrechnung....................................................................166 7.1 Differenziation........................................................................................... 169 7.2 Standardableitungen .................................................................................. 173 7.3 Regeln ........................................................................................................ 175 7.4 Aspekte der Differenzialrechnung............................................................. 181 7.5 Lineare Approximation einer Funktion ..................................................... 186 7.6 Geschwindigkeit ........................................................................................ 188 7.7 Formalismus .............................................................................................. 191 8 Integralrechnung ..........................................................................200 8.1 Die bestimmte Integration ......................................................................... 200 8.2 Die Stammfunktion.................................................................................... 204 8.3 Die Grundintegrale .................................................................................... 207 8.4 Uneigentliche Integrale.............................................................................. 208 8.5 Integration zusammengesetzter Funktionen .............................................. 211 8.6 Flächen unter Kurven ................................................................................ 216 8.7 Das unbestimmte Integral .......................................................................... 220 8.8 Von der Summe zum Integral.................................................................... 223 8.9 Der Hauptsatz ............................................................................................ 230 9 Anwendungen, Ausblicke............................................................235 9.1 Intermezzo ................................................................................................. 236 9.2 Iteration...................................................................................................... 243 9.3 Interpolationen........................................................................................... 257 9.4 Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung................................................... 262 9.5 Vektorfunktionen....................................................................................... 268 9.6 Krümmung................................................................................................. 276 9.7 e-Spirale..................................................................................................... 284 9.8 Ein Mobilé ................................................................................................. 288 9.9 Integralfunktionen ..................................................................................... 293 Literaturverzeichnis .....................................................................300 Stichwortverzeichnis ...................................................................301

Leseprobe Margot Ruschitzka, Wolfgang Reckfort Ingenieurmathematik Vektor- und Infinitesimalrechnung für Bachelors ISBN: 978-3-446-41788-5 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-41788-5 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München 126 6 Funktionen Die Griechen hatten es mit der Geometrie, das Spezialgebiet der Araber war die Algebra. Der Begriff Funktion und die damit zusammenhängende Betrach- tungs- und Behandlungsweise der Dinge ist der entscheidende Beitrag des Abendlandes zur Mathematik. Er spielt eine überragende Rolle in Analysis, Physik und Technik. Gleichungen (und Algebra) sind statisch und endlich; die Lösung einer Glei- chung liefert einzelne Werte. Funktionen (und Analysis) sind dynamisch und unendlich; sie spiegeln einen Zusammenhang zwischen Größen bzw. Variablen wider. Wenn sich eine Vari- able ändert, gibt sie die Veränderung der anderen Variablen an. Bei Beweisen ziehen die Mathematiker allerdings eine statische Betrachtungsweise vor, siehe z.B. die „Epsilontik“. Statik kann man in Ruhe sezieren, sie läuft nicht davon. Mit der Entwicklung von den Gleichungen zu den Funktionen war ein regel- rechter Sinneswandel verbunden. Wir wollen uns den Unterschied an einem Beispiel klar machen. Ein (mathematisch vorgebildeter) Segler schippert bei Nacht und Nebel auf der Nordsee; in der Nähe seines Kurses zeigt die Karte einen Leuchtturm. Er interessiert sich aus naheliegenden Gründen für den Abstand d min , mit dem er den Turm passieren wird. Ist seine (mathematische) Stärke die Algebra, wird er Gleichungen aufstellen und die Werte d min und tmin , den Zeitpunkt, an dem er den Turm querab hat, berechnen. Hat er in der Schule mehr bei der Analysis auf- gepasst, wird er die Abstandsfunktion d (t ) auf- stellen und einen Graphen zeichnen. Dieses Dia- gramm zeigt ihm die Entwicklung des Abstandes „Boot → Turm“ der nächsten Zeit. Natürlich kann er auch d min und den Zeitpunkt tmin entnehmen. 6 Funktionen 127 Tatsächlich wird unser Skipper keins von beiden tun! Er wird seinen Kurs in die Karte eintragen und alle Informationen dort abgreifen. Auch mathematisch vorgebildete Segler rechnen nicht gern: Seeleute sind „Sehleute“. Bevor wir uns kopfüber in die Funktionen stürzen, sollten wir uns klar machen, was eine Funktion oder Abbildung eigentlich ist. Bemühen wir das in Mathe- Witzen gern vorgeführte Trio, so könnte man verschiedene Definitionen zu- sammenstellen. Der Mathematiker wäre mit folgender Formulierung zufrieden: Gegeben seien zwei nichtleere Mengen A und B . Es sei jedem Element x aus der Menge A auf eine bestimmte Weise genau ein Element y aus der Menge B zugeordnet. Diese Zuordnung heißt dann eine Funktion oder Abbildung (z.B. f ). Die Menge A nennt man den Definitionsbereich oder die Ur- bildmenge, die Menge B den Wertebereich oder die Bildmenge. Der Physiker würde herausstellen, dass der Wert einer abhängigen Variable (z.B. y) gesetzmäßig vom Wert einer frei wählbaren unabhängigen Variablen (z.B. x) abhängt. Dieses Gesetz würde er Funktion nennen, ihm einen Namen geben (z.B. f ) und sagen: „y gleich f von x“ → y = f (x) Der Ingenieur würde den maschinentechnischen As- pekt bevorzugen, den wir bereits bei den Folgen kennengelernt haben. Eine Funktion gleicht einer Maschine: Eingangsseitig füttert man x-Werte ein und erhält nach Bearbeitung durch die Maschine namens f am Ausgang die Werte y → y = f (x) . Wichtig ist die eindeutige Zuordnung: y = + 1 − x 2 ist eine Funktion; dass verschiedene x- Werte den gleichen y-Wert haben, ist zulässig. 128 6 Funktionen y = ± 1 − x 2 ist keine Funktion: ein x-Wert hat zwei y- Werte. Der Ausdruck ist nicht zweideutig, sondern mehrwertig. Das sind sehr weitgefasste Definitionen, die auch abstruse Vorschriften und Mengen zulassen. Lassen Sie sich einmal folgende Funktion auf der Zunge zer- gehen, die von keinem geringeren als L. Dirichlet, Nachfolger von C. F. Gauß in Göttingen, kreiert wurde: y ist 0 für alle rationalen x, y ist 1 für alle nichtrationalen x! Denken oder blättern Sie zurück zum Abschnitt 1.2 „Zahlen“. Dort hatten wir gewisse Schwierig- keiten, die irrationalen Zahlen auf der dicht an dicht mit rationalen Zahlen belegten Zahlengera- den unterzubringen und nun machen Sie sich ein Bild von der obigen Funktion! Mathematiker haben ihre Freude an solchen Dingen. Verständlich, für einen Zoologen ist das australische Schnabeltier auch aufregender als die holländische Feld-, Wald- und Wiesenkuh. Wir werden uns in Zukunft aber fast ausschließlich mit „braven“, sprich: steti- gen, glatten und in Formeln gefassten Funktionen befassen, die ggf. ein paar Fehlstellen haben. Als Definitionsmenge der unabhängigen Variablen x (als Inputwerte) sind nunmehr die reellen Zahlen (x aus R!) zugelassen. 6.1 Darstellungsarten Tabellarische Darstellung Handgemachte Wertetabellen oder „Vierstellige Vollständige Logarithmische und Trigonometrische Tafel“ sind mit der Verbreitung des Taschenrechners aus der Mode gekommen. 6.1 Darstellungsarten 129 Graphische Darstellung Die Darstellung bedarf nach der Vorbereitung bei den Folgen keiner langen Erklärung. Wir tragen über der Zahlengeraden senkrecht zum jeweiligen Input- wert x die Größe y des entsprechenden Funktionswertes auf; links zeichnen wir den verwendeten Maßstab der Funktionswerte. Da wir nun die reellen Zahlen als Definitionsbereich haben, entsteht eine Kurve in der Ebene. D. h.: Eigentlich ist die so entstandene Kurve gar keine! Der Graph ist neben Wertetabelle, Leiterdiagramm etc. nur eine spezielle Darstellungsart unserer Funktion. Es gibt aber eine andere, mehr „kurvige“ Lesart des Graphen: Man berechnet für jedes x das entsprechende y. Die so ermittelten Zahlenpärchen (x, y) fasst man als Koordinaten eines Punktes in der (x, y)-Ebene auf, zeichnet alle errech- neten Punkte in die „koordinierte“ Ebene und erhält als graphische Darstellung der Funktion eine Kurve. Gerade wegen dieser Doppeldeutigkeit hat sich der Graph als das beste Mittel zur Veranschaulichung einer Funktion durchgesetzt. Im Zeitalter der Computer ist so ein Diagramm zudem blitzschnell erstellt. Analytische Darstellung Für die rechnerische Behandlung brauchen wir eine analytische Beschreibung, eine algebraische Formel. Das ist nun seit René Descartes (1596 bis 1650) und der Einführung der nach ihm benannten Kartesischen Koordinaten und dem dazu passenden Achsenkreuz kein Problem. Wir wollen uns die gebräuchlichsten vier Darstellungsarten anschauen. 1. Die Explizite Form y = f (x) ist eindeutig die für unsere Zwecke wichtigste und bequemste (nicht nur weil sie aus der Schule hinlänglich bekannt ist). Der Einheits(halb)kreis: y = + 1 − x2 130 6 Funktionen Eine Parabel: y = 3x 2 + 2 Die Sinusschwingung: y = sin( 2 x) Wir werden alle wichtigen Gedanken und Methoden mit der Expliziten Form entwickeln. Auch die anderen, weiter unten angeführten Formen versucht man möglichst auf diese Form zurückzuführen. Man wählt ein x-Intervall von x A bis xE , setzt jedes x in die Formel ein und bekommt durch direktes Ausrechnen das passende y. Man sagt auch: Das x- Intervall wird auf das entsprechende y-Intervall abgebildet. y = f (x) kann man als Bestimmungsgleichung ansehen. Die Vorschrift y = f (x) sollte dabei eindeutig jedem Punkt des x-Intervalls ge- nau ein y zuordnen, sonst verdient sie nicht Funktion genannt zu werden. Wird auch noch verlangt, dass umgekehrt jedem y des y-Intervalls eindeutig genau ein Punkt des x-Intervalls zugeordnet werden kann, spricht man insgesamt von einer eineindeutigen Abbildung f (siehe Abschnitt 6.4 „Umkehrfunktionen“). 2. Die Parameterform x( p ) = f ( p ) , y ( p ) = g ( p ) mit p als Parameter bzw. Laufvariable Sie bietet ein Höchstmaß an Freiheit, da man zwei Funktionen zur Beschreibung einer Kurve oder eines Bewegungsablaufs hat (und wird in vielen Bereichen der Mathematik eingesetzt). Bevorzugte Parameter: die Zeit t, ein Winkel ϕ . Eine Parabel: x(t ) = t , y (t ) = t 2 ; t = t A …t E in Kurzschrift: ( f (t ) = (x(t ), y (t ) ) = t , t 2 ) Der Einheits(voll)kreis: x(ϕ) = 1 ⋅ cos(ϕ) , y (ϕ) = 1 ⋅ sin(ϕ) ; ϕ = 0… 2π kurz und bündig: g (ϕ) = (x(ϕ), y (ϕ) ) = (1 ⋅ cos(ϕ), 1 ⋅ sin(ϕ) ) (Physik und Technik formulieren 2D- und 3D-Wege und -Bahnen parame- trisch.) 6.1 Darstellungsarten 131 Wir haben gewissermaßen zwei Bestimmungsvorschriften vor uns, für jede Ko- ordinate eine. Man denke sich eine Laufvariable, z.B. die Zeit t. t soll alle Zahlenwerte von t A bis t E durchlaufen und rechne mit jedem (Parameter-)Wert t per Funktions- vorschrift 1 ( x = f (t ) ) ein x und per Funktionsvorschrift 2 ( y = g (t ) ) ein y aus. Die jeweils zu einem t gehörigen x- und y-Werte kann man zusammenfassen und in der kartesischen Ebene als „Punktekurve“ darstellen. Kleiner Nachteil: Der eigentliche Auslöser der Kurvenpunkte, der Parameter t taucht in der Ebene nicht mehr auf. (Man kann t aber durch entsprechende Mar- kierungen an der Kurve wieder ins Bild mogeln.) Großer Vorteil: Die Darstellung ist kein Graph, sondern eine echte Kurve, ein Weg, eine Bahn. 3. Die Polare Form r (ϕ) = f (ϕ) (r ist abhängig von ϕ ; r ist eine Funktion f von ϕ ) Sie ist recht nützlich wenn es „rund geht“ (und es geht in Natur und Technik recht häufig rund).