Kleine Formelsammlung Technische Mechanik

Vorwort Peter Will, Bernd Lämmel Kleine Formelsammlung Technische Mechanik ISBN: 978-3-446-42166-0 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42166-0 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München Vorwort Die Kleine Formelsammlung Technische Mechanik ist ein handliches Nach- schlagewerk für Studenten aller technischen Fachrichtungen. Das Taschen- buch ist als Begleitmaterial zu Vorlesungen bzw. Seminaren der Techni- schen Mechanik gedacht. Das Hauptanliegen des bewährten Kompendiums ist das schnelle Auffinden von gebräuchlichen Ansätzen, Formeln und Standardlösungen der Techni- schen Mechanik. Die Formelsammlung dient auch der Auffrischung bereits erworbener Kenntnisse. Das Buch enthält die technisch relevanten Grundformeln der Statik starrer Körper, der Elastizitäts- und Festigkeitstheorie sowie der Kinetik starrer und deformierbarer Bauteile. Es werden Schwingungen diskreter Elemente sowie kontinuierlicher Massenverteilungen behandelt, die Dynamik von Mehrkör- persystemen untersucht, Kennwerte definiert und Versagenskriterien formu- liert. Abschnitte zur Sensorik und Aktorik ergänzen die Publikation. Allgemeingültigen Sätzen sind die Lösungen praktisch wichtiger oder theo- retisch beispielhafter Anwendungsfälle zugeordnet. Zusätzliche Erläuterun- gen sollen helfen, das Verständnis ausgewählter Grundbegriffe zu verbes- sern. Skizzen ergänzen die Darstellungen und erleichtern die Zuordnung der Symbole zu mechanischen und geometrischen Größen. Die aktuelle Auflage wurde bearbeitet und erweitert. Begleitend zur Formelsammlung empfehlen die Autoren ihre Aufgaben- sammlung Technische Mechanik, die im Internet unter der Adresse: http://www.htwm.de/pwill/aufgabe.html zu finden ist. Chemnitz und Mittweida P. Will B. Lämmel

Inhaltsverzeichnis Peter Will, Bernd Lämmel Kleine Formelsammlung Technische Mechanik ISBN: 978-3-446-42166-0 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42166-0 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München Inhaltsverzeichnis 1 Statik ..................................................................................................11 1.1 Grundbegriffe ............................................................................................... 11 Resultierende, Krafteck, Betrag und Richtung der Resultierenden, Koordinaten eines Kraftvektors, Moment eines Kräftepaares, Moment einer Einzelkraft 1.2 Gleichgewichtsbedingungen ...................................................................... 14 Kräfte- und Momentengleichgewicht, Freischneiden, statisch bestimmte Lagerung, La- gerwertigkeit, mehrteilige Tragwerke, Fachwerk, Knotenpunktverfahren, Nullstab, Ritter-Verfahren 1.3 Kraftmittelpunkt und Schwerpunkt.......................................................... 22 Systeme paralleler Kräfte, Linienlast, Flächenschwerpunkte von Dreieck, Trapez, Kreisausschnitt und Halbkreis; Volumenschwerpunkte von Kegel und Halbkugel; Gesamtschwerpunkt von Teilsystemen 1.4 Seilstatik ...................................................................................................... 27 Gleichgewicht, Seilkurve, Seilkraft 1.5 Reibung ........................................................................................................ 28 Haftreibung, Haftreibungskoeffizient, Gleitreibung, Gleitreibungskoeffizient, Reib- winkel, Keilnut, Reibung an Schrauben, Seilreibung, Fügekraft, Selbsthemmung 1.6 Virtuelle Arbeit............................................................................................ 33 Virtuelle Verschiebungen, Verdrehungen, Gleichgewichtslage 2 Elastostatik........................................................................................ 34 2.1 Spannungen.................................................................................................. 34 Normalspannungen, Schubspannungen, Vorzeichenkonvention, Spannungsvektor; Komponenten des Spannungstensors, Spannungstransformationen, Hauptspannun- gen (2d), maximale Normal- und Schubspannungen, Mohrscher Spannungskreis, Hauptspannungen (3d), Invarianten des Spannungstensors 2.2 Deformationen ............................................................................................ 39 Dehnungen, Verzerrungen, Verschiebungen, Verformungen unter einachsiger Belas- tung, Querdehnzahl, Gleitung, Scherung, Kompatibilität, Zylinderkoordinaten 2.3 Elastische Grundgleichungen nach Cauchy ........................................... 42 Dehnungen, Wärmeausdehnungskoeffizient, Volumendehnung, Scherungen, Schub- modul, Normalspannungen, Kompressionsmodul, hydrostatische Spannung, Wärme- dehnungen, Nachgiebigkeit, Steifigkeit, erwärmte Materialverbunde, Gleichge- wichtsbilanzen deformierbarer Kontinua, Zylindersymmetrie, dünnwandiger Rohr- kessel unter Innendruck 2.4 Biegetheorie.................................................................................................. 50 2.4.1 Homogene Balken........................................................................................ 50 Schnittgrößen, Biegemoment, Querkraft, Reaktionskraft, kontinuierliche Belastung, axiale Flächenmomente, Flächendeviationsmomente 2. Ordnung, Krümmungsradius, Biegespannungen, Biegewiderstandsmoment, axiale Dehnung, schiefe Biegung Flä- chenmomente 2. Ordnung für Rechteck, Trapez, Kreis, elliptischen, dreieckigen, halbkreisförmigen und dünnen Kreisringquerschnitt, Hauptflächenmomente 2. Ord- nung, Satz von Steiner, Doppel-T-Träger Inhaltsverzeichnis 7 2.4.2 Kompositbalken ........................................................................................... 59 Biegespannung, Längskraftfreiheit, Biegelinie, Zweischichtbalken, Längskraftfrei- heit, Biegespannungen, Bimetall, Biegeradius, axiale Dehnung, Zwangsspannungen, Durchbiegung 2.4.3 Bogenträger (eben) ........................................................................................ 64 Kräfte-, Momentengleichgewicht, Stützlinie, Lagerkräfte 2.4.4 Biegelinien, Biegepfeil, Durchbiegung....................................................... 66 Differenzialgleichung Biegelinie, Durchbiegung; zweiseitig gelenkig gestützter Bal- ken unter Einzellast; einseitig fest eingespannter Balken unter Einzellast, -moment; 4-Punkt-Biegung; zweiseitig gelenkig gestützter Balken unter homogener partieller Linienlast; einseitig fest eingespannter Balken unter homogener partieller Linienlast; Superposition, federnd gelagerter Balken, thermisch induziertes Biegemoment 2.4.5 Schubspannung im Biegebalken.................................................................. 76 Teilflächenmoment, mittlere Schubspannung im Rechteckbalken, Schubspannung im Doppel-T-Träger 2.4.6 Schiefe Biegung im Hauptachsensystem..................................................... 77 Normalspannung, Spannungsnullfläche, Ausbiegung, Richtung der Ausbiegung 2.4.7 Kombinierte Beanspruchung Biegung – Normalkraft .............................. 79 Exzentrische Längsdruckbelastung, Normalspannung, Achsenabschnittsgleichung der Spannungsnullfläche, Querschnittskern, Kernweite 2.4.8 Knickbiegung ............................................................................................... 81 Biegemoment, Biegelinie, zweiseitig gelenkig gestützter Balken 2.5 Torsion .......................................................................................................... 84 2.5.1 Torsion kreisförmiger und elliptischer Querschnitte................................ 84 Schubspannung, Verwindung, Drillung; polare Flächenmomente 2. Ordnung für Vollkreis, Kreisring; Torsion von 2-komponentigen Verbundschäften, Schubspan- nungsdifferenz; elliptische Querschnitte, Torsionsträgheitsmoment 2.5.2 Torsion rechteckiger und dünnwandiger Querschnitte ............................ 87 Verwindung, Schubspannung, Torsionswiderstandsmoment, Torsionsträgheitsmoment, dünnwandiger Kastenträger, Schubmittelpunkt; geschlitzte, dünnwandige Hohl- profile; Winkelquerschnitt 2.6 Kreisplatte .................................................................................................... 91 Rotationssymmetrische Belastung, Querkraft, Plattensteifigkeit, Temperaturmoment, Durchsenkung, radiale Spannung, Umfangsspannung 2.7 Energien ......................................................................................................... 94 Spezifische Formänderungsenergie, Biegebalken (Normal- bzw. Schubspannungs- anteil), Torsion (kreisförmige bzw. geschlossene, dünnwandige Profile) 2.8 Satz von Castigliano...................................................................................... 97 Verschiebung, Verdrehung, Deformation von Fachwerken, Stabzweischlag, einseitig fest eingespannter Rechteckbalken unter Einzellast (Normal- bzw. Schubspannungs- anteil), Satz von Menabrea (statisch unbestimmte Lagerreaktionen) 2.9 Knicken ....................................................................................................... 100 Axial, druckbeanspruchte, schlanke Stäbe; Eulersche Knickfälle, kritische Lasten, Biegelinien 8 Inhaltsverzeichnis 3 Dynamik starrer Körper..................................................................103 3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz..............................................103 Impuls, Drehimpuls, bewegte und raumfeste Bezugspunkte, Massenträgheits- moment, Trägheitsradius, reduzierte Masse, Drehimpulsvektor, Referenzpunktver- schiebung; axiale Massenträgheitsmomente, Deviationsmomente, homogener Qua- der, Zylinder, Kreiskegel, Satz von Steiner, Transformation axialer Massenträg- heitsmomente 3.2 Stoßgesetze ..................................................................................................111 Stoß einer Punktmasse gegen drehbar befestigten Körper, Stoßmittelpunkt; exzentri- scher, glatter Stoß; rauer Stoß (homogene Kugel gegen Wand) 3.3 Relativbewegungen......................................................................................115 Änderungsraten im raumfesten Koordinatensystem und relative Änderungen in be- wegten, rotierenden Referenzsystemen, Schwerpunktsatz für rotierende Referenz- systeme, Zentripetal-, Coriolis-, Führungsbeschleunigung, Zentrifugalregler; Drall- satz für rotierendes Referenzsystem, Kollermühle, Drallsatz im rotierenden körper- festen System, Eulersche Gleichungen, dynamisch unwuchtiger Rotor, stabile Rota- tion von Kreiseln 3.4 Energie, Arbeit ............................................................................................120 Kinetische Energie des starren Körpers, Energiesatz, Lagrange’sche Gleichungen 2.

Leseprobe Peter Will, Bernd Lämmel Kleine Formelsammlung Technische Mechanik ISBN: 978-3-446-42166-0 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42166-0 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München 3 Dynamik 3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz Die Bewegungsgleichungen eines starren Körpers ergeben sich aus dem Schwerpunkt- oder Impulssatz sowie dem Mo- menten- oder Drallsatz unter Beachtung kinematischer Zwangsführungen. Erstere charakterisieren die translatorische Bewegung des Systemschwerpunktes, während der Momen- ten- bzw. Drallsatz die Rotation des Körpers bewertet. Schwerpunktsatz d2 d2 d2 m xS = Fx m yS = Fy m zS = Fz dt 2 dt 2 dt 2 Der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems bzw. eines Bau- teils bewegt sich so, als ob die Gesamtmasse m des Körpers in ihm vereinigt wäre und die Resultierende (Fx, Fy, Fz) aller äu- ßeren Kräfte an ihm angreift. Impulssatz d r r pS = F dt Impuls r r pS = mvS m Masse des starren Körpers r vS Geschwindigkeitsvektor des Schwerpunktes Drallsatz, Momentensatz Rotation eines starren Körpers mit raumfestem, körpereigenen Bezugs- punkt A Die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors (Dralls) ist gleich dem resultierenden Momentenvektor der äußeren Kräfte. d r r LA = M A dt r MA Vektor des äußeren Moments bezüglich A 104 3 Dynamik Rotation eines starren Körpers mit bewegtem Schwerpunkt S als Bezugs- punkt d r r LS = M S dt r MS Vektor des äußeren Moments bezüglich S Achtung: Schwerpunkt- bzw. Momentensatz starrer Körper gelten auch für mehrteilige, verbundene Systeme. Die Bewe- gungsgleichungen für jedes Teilelement des Gesamtsystems lassen sich aus den genannten Sätzen unter Berücksichtigung von Schnittkräften bzw. Schnittmomenten sowie kinemati- schen Beziehungen für die gekoppelte Bewegung zwischen den einzelnen Bauteilen ableiten. Drallsatz (ebene Bewegung) M A = Θ Aϕ + m ( &&A x AS − &&A y AS ) && y x MA äußeres Moment ΘA Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezüglich des körpereigenen Referenzpunktes A ϕ && Winkelbeschleunigung ( &&A , &&A ) x y Beschleunigung des Bezugspunktes A ( xAS , y AS ) Differenzkoordinaten zwischen Bezugspunkt A und Schwer- punkt S Drehimpuls (ebene Bewegung) Ebene Rotation eines starren Körpers um raumfesten, körpereigenen Be- zugspunkt A LA = Θ Aω ΘA Massenträgheitsmoment des starren Körpers zum raumfesten, körpereigenen Referenzpunkt A ω Winkelgeschwindigkeit der Rotation um A 3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz 105 Ebene Rotation eines starren Körpers um den bewegten Schwerpunkt S LS = Θ Sω ΘS Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezüglich des Schwerpunktes S ω Winkelgeschwindigkeit der Rotation um S Drehimpuls Referenzpunktverschiebung Formulierung 2d LB = LA + m ( xBA yS − yBA xS ) & & m Masse des Bauteils ( xBA , yBA ) Differenzkoordinaten vom Bezugspunkt B zu A ( xS , yS ) & & Geschwindigkeitskoordinaten des bewegten Schwerpunkts Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes Θ s = ∫∫∫ ρ r 2 dV V ρ Dichte des Materials r Entfernung vom Schwerpunkt des Körpers V Volumen des Bauteils Kreisscheibe mR 2 Θs = 2 r S m Masse der Kreisscheibe R Radius des Kreisquerschnitts 106 3 Dynamik Kugel (Schwerpunktachse) 2 Θs = mR 2 5 m Masse der Kugel R Radius der Kugel Schlanker Stab S ml 2 ΘS = 12 l m Masse des Stabes l Länge des schlanken Stabes Satz von Steiner (2d) A Θ A = Θ S + ma 2 m a S a Abstand der parallelen Achsen A und S m Masse des Körpers Trägheitsradius ΘA iA = m Der Trägheitsradius ist die Entfernung eines als Punktmasse gedachten Ersatzkörpers von der Drehachse A, der das gleiche axiale Massenträgheitsmoment ΘA hat wie ein originales, aus- gedehntes Bauteil mit der Gesamtmasse m. 3.1 Schwerpunkt-, Impuls- und Momentensatz 107 Reduzierte Masse ΘA mA = r2 Die reduzierte Masse ist die Masse eines im vorgegebenen Abstand r von der Drehachse A angebrachten punkt- oder ringförmigen Ersatzkörpers, der das gleiche axiale Massen- trägheitsmoment ΘA hat wie das originale Bauteil. Drehimpuls (3d) Rotation eines starren Körpers mit raumfestem, körpereigenen Bezugs- punkt A ⎡Θ Θ Axy Θ Axz ⎤ r ⎢ Axx ⎥r LA = ⎢ Θ Axy Θ Ayy Θ Ayz ⎥ ω ⎢ Θ Axz Θ Ayz Θ Azz ⎥ ⎣ ⎦ Θ Axx , Θ Ayy , Θ Azz axiale Massenträgheitsmomente bezüglich A Θ Axy , Θ Axz , Θ Ayz Deviationsmomente bezüglich A r ω Vektor der Winkelgeschwindigkeit des Körpers Rotation eines starren Körpers mit bewegtem Schwerpunkt S als Bezugs- punkt ⎡Θ Θ Sxy Θ Sxz ⎤ r ⎢ Sxx ⎥r LS = ⎢Θ Sxy Θ Syy Θ Syz ⎥ ω ⎢ Θ Sxz Θ Syz Θ Szz ⎥ ⎣ ⎦ Θ Sxx , Θ Syy , Θ Szz axiale Massenträgheitsmomente bezüglich S Θ Sxy , Θ Sxz , Θ Syz Deviationsmomente bezüglich S r ω Vektor der Winkelgeschwindigkeit des Körpers 108 3 Dynamik Drehimpuls Referenzpunktverschiebung Formulierung 3d r r r r LB = LA + m rBA × vS m Masse des Bauteils r rBA Vektor vom Bezugspunkt B zum Bezugspunkt A r vS Geschwindigkeitsvektor des bewegten Schwerpunkts Axiale Massenträgheitsmomente Θ xx = ⌠⌠⌠ ( y 2 + z 2 )ρ dV ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ Θ yy = ⌠⌠⌠ ( x 2 + z 2 )ρ dV ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ V V Θ zz = ⌠⌠⌠ ( x 2 + y 2 )ρ dV ⎮⎮⎮ ⌡⌡⌡ V ρ Dichte V Volumen des Bauteils Deviationsmomente, Zentrifugalmomente Θ xy = Θ yx = − ∫∫∫ xy ρ dV Θ yz = Θ zy = − ∫∫∫ yz ρ dV V V Θ xz = Θ zx = − ∫∫∫ xz ρ dV V ρ Dichte V Volumen des Bauteils x, y , z Koordinaten der Volumenelemente dV des Körpers bezüglich des Referenzpunktes Der Wert von mindestens zwei Deviationsmomenten wird zu Null, wenn eine der Koordinatenachsen x, y oder z mit einer Symmetrieachse des starren Körpers zusammenfällt. 3.