Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure

Vorwort Ulrich Gabbert, Ingo Raecke Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure ISBN: 978-3-446-42213-1 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42213-1 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München Vorwort Die Lehrveranstaltung Technische Mechanik gehört zu den unverzichtbaren Grundlagenfächern eines jeden Ingenieurstudiums an Universitäten und an Fach- hochschulen. Die Technische Mechanik basiert auf wenigen akzeptierten physika- lischen Grundgesetzen sowie einer Vielzahl von experimentell abgesicherten Annahmen, durch die aus einer realen technischen Problemstellung ein mechani- sches Idealsystem – ein Modell – gebildet wird, das erst die Lösung des technischen Problems ermöglicht. Verletzt man aus Unkenntnis den oft engen Gültigkeitsbereich dieser Annahmen, so hat die Lösung meist nur noch wenig mit dem realen Ausgangs- problem zu tun, was in der Praxis zu schweren Havarien und Unglücksfällen mit hohen menschlichen und materiellen Verlusten führen kann. Beispiele dafür gibt es leider mehr als genug. Daher müssen Ingenieure über ein gesichertes Basiswissen, die notwendigen Orientierungsgrundlagen und eine zuverlässige Denkfähigkeit verfügen, die es ihnen erst ermöglichen, richtige Entscheidungen treffen zu können – Entscheidungen, die häufig mit der Verantwortung für die Sicherheit und die Zuverlässigkeit von Ingenieurprodukten verknüpft sind und von denen häufig genug auch die Umsätze und die Gewinne des Unternehmens in entscheidendem Maße abhängig sind.1 Deshalb sollten gerade Wirtschaftsingenieure über eine besondere Kompetenz in der Beurteilung technischer Lösungen verfügen. Der Inhalt des vorliegenden Lehrbuchs orientiert sich an dieser Zielrichtung und entspricht vom Umfang her einer zweisemestrigen Lehrveranstaltung mit einem Gesamtstundenumfang von 8 Semesterwochenstunden (2 Stunden Vorlesung und 2 Stunden Übung pro Woche), wie sie heute üblicherweise an Universitäten und Fachhochschulen für den Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen angeboten wird. Die von uns vorgenommene Stoffauswahl erhält den Gesamtzusammenhang der Technischen Mechanik und umfasst die auch für alle anderen Ingenieurstudiengänge im Grundstudium üblichen drei Gebiete Statik, Festigkeitslehre und Dynamik, allerdings in einem reduzierten Umfang. Die beigefügte CD-ROM enthält den 1 Siehe dazu auch „Denkschrift zur Didaktik der Mechanik“, erarbeitet von einem Ausschuss der Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) unter Leitung von E. Stein, Deutsches Komitee für Mechanik, April 1999 6 Vorwort Buchinhalt in Form einer PowerPoint-Präsentation, in der die Lehrinhalte Schritt für Schritt entwickelt werden, wobei über das Buch hinausgehende farbige Darstellun- gen, Animationen und Videos den Lernprozess unterstützen. In dem Buch werden 83 Beispiele vorgerechnet, da nach unseren Erfahrungen Beispiele wesentlich zum Verständnis und zum aktiven Anwenden des vermittelten Wissens beitragen. Das Buch ist, wie bereits der Titel verdeutlicht, für die Studierenden des Studiengan- ges Wirtschaftsingenieurwesen an Universitäten und an Fachhochschulen geschrie- ben worden. Es ist aber natürlich auch geeignet für alle anderen Ingenieurstudien- gänge, wie Maschinenbau, Verfahrenstechnik, Elektrotechnik, Energietechnik, Logistik, Berufsschullehrer für Technik, Chemieingenieurwesen, Sport und Technik, Medizintechnik, Biomechanik u. a. Die freundliche Aufnahme, die das Buch gefunden hat, machte eine weitere Auflage erforderlich. Die vorliegende fünfte Auflage ist inhaltlich mit der vierten Auflage identisch. Die Autoren bedanken sich bei all denen, die zur Verbesserung des Buches und zur Beseitigung von Schreibfehlern und anderen kleinen Mängeln beigetragen haben. Unser besonderer Dank gilt Dr.-Ing. Harald Berger, Dr.-Ing. Joachim Grochla und Dr.-Ing. Heinz Köppe für ihre wertvollen Hinweise zur inhaltlichen Verbesserung des Buches. Dem Verlag sei für seine stetigen Bemühungen um dieses Buch gedankt. Magdeburg, im Januar 2010 Ulrich Gabbert, Ingo Raecke

Inhaltsverzeichnis Ulrich Gabbert, Ingo Raecke Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure ISBN: 978-3-446-42213-1 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42213-1 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München Inhaltsverzeichnis 1 Statik......................................................................................................... 11 1.1 Grundlagen .......................................................................................................... 11 1.1.1 Starrer Körper ...................................................................................... 11 1.1.2 Kraft...................................................................................................... 12 1.1.3 Wechselwirkungsprinzip..................................................................... 14 1.1.4 Schnittprinzip....................................................................................... 14 1.1.5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte ............................................. 15 1.1.6 Gleichgewicht....................................................................................... 15 1.1.7 Äquivalenz von Kräften ....................................................................... 16 1.2 Zentrales ebenes Kraftsystem.............................................................................. 16 1.2.1 Resultierende........................................................................................ 16 1.2.2 Gleichgewicht von Kräften .................................................................. 21 1.2.3 Lagerungsbedingungen ....................................................................... 21 1.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem ......................................................................... 24 1.3.1 Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte..................... 24 1.3.2 Moment ................................................................................................ 26 1.3.3 Versetzungsmoment............................................................................ 27 1.3.4 Rechnerische Ermittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)...... 28 1.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten ....................................... 29 1.3.6 Bindungen, Freiheitsgrad und statische Bestimmtheit einer starren Scheibe.................................................................................................. 31 1.4 Ebene Tragwerke ................................................................................................. 33 1.4.1 Grundbegriffe....................................................................................... 33 1.4.2 Lagerung starrer Scheiben ................................................................... 34 1.4.3 Streckenlasten ...................................................................................... 37 1.4.3.1 Definition von Streckenlasten ............................................................. 37 1.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast.............................. 38 1.4.4 Beispiele................................................................................................ 40 1.5 Scheibenverbindungen........................................................................................ 42 1.5.1 Ermittlung der statischen Bestimmtheit ............................................. 42 1.5.2 Dreigelenkträger .................................................................................. 44 1.5.3 Gerberträger ......................................................................................... 48 1.5.4 Ebene Fachwerke ................................................................................. 50 8 Inhaltsverzeichnis 1.5.4.1 Überprüfung der statischen Bestimmtheit von Fachwerken ..............51 1.5.4.2 Arten von Fachwerken..........................................................................52 1.5.4.3 Berechnungsmethoden für Fachwerke ................................................53 1.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern und Trägersystemen .....................................58 1.6.1 Definition der Schnittgrößen ...............................................................58 1.6.2 Berechnung und grafische Darstellung der Schnittgrößen.................61 1.6.3 Differentielle Beziehungen ...................................................................65 1.6.4 Anwendungen.......................................................................................67 1.7 Zentrales räumliches Kraftsystem........................................................................76 1.7.1 Ermittlung der Resultierenden.............................................................76 1.7.2 Gleichgewicht einer zentralen räumlichen Kräftegruppe ...................77 1.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem...................................................................79 1.8.1 Zusammensetzung von Kräften und Momenten ................................81 1.8.2 Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente.......................82 1.8.3 Räumlich gestützter Körper .................................................................83 1.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken ....................................86 1.9 Haftung und Gleitreibung....................................................................................89 1.9.1 Haftung (Zustand der Ruhe)................................................................89 1.9.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung) ................................................94 1.9.3 Seilhaftung und Seilreibung .................................................................95 1.9.3.1 Seilhaftung.............................................................................................96 1.9.3.2 Seilreibung.............................................................................................98 1.10 Schwerpunkt .........................................................................................................99 1.10.1 Massenschwerpunkt .............................................................................99 1.10.2 Volumenschwerpunkt ........................................................................100 1.10.3 Flächenschwerpunkt ebener Flächen.................................................100 1.10.4 Linienschwerpunkt ebener Linien .....................................................102 1.10.5 Schwerpunkt zusammengesetzter Gebilde ........................................102 1.10.6 Anmerkungen zur Berechnung von Schwerpunkten........................103 1.11 Flächenmomente 2. Grades................................................................................103 1.11.1 Definition der Flächenmomente 2. Grades........................................103 1.11.2 Satz von STEINER .................................................................................105 1.11.3 Flächenmomente 2. Grades einfacher Querschnittsflächen .............107 1.11.4 Hauptflächenmomente.......................................................................108 1.11.5 Flächenmomente 2. Grades zusammengesetzter Flächen................112 2 Festigkeitslehre...................................................................................... 115 2.1 Grundlagen der Festigkeitslehre ........................................................................115 2.1.1 Einleitung ............................................................................................115 2.1.2 Spannungszustand..............................................................................121 Inhaltsverzeichnis 9 2.1.3 Deformationszustand .........................................................................123 2.1.4 Elastizitätsgesetze (Materialgesetze) ..................................................125 2.1.4.1 Elastizitätsgesetz für die Dehnung......................................................126 2.1.4.2 Elastizitätsgesetz für die Gleitung.......................................................129 2.1.4.3 Verallgemeinertes HOOKEsches Gesetz..............................................130 2.2 Zug und Druck....................................................................................................131 2.2.1 Spannungen und Verformungen von Stabsystemen.........................131 2.2.1.1 Berechnung der Spannungen .............................................................131 2.2.1.2 Berechnung der Verformungen .........................................................133 2.2.2 Flächenpressung .................................................................................141 2.3 Biegung................................................................................................................145 2.3.1 Voraussetzungen und Annahmen .....................................................145 2.3.2 Spannungen bei gerader Biegung.......................................................146 2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung...................................................151 2.3.

Leseprobe Ulrich Gabbert, Ingo Raecke Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure ISBN: 978-3-446-42213-1 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42213-1 sowie im Buchhandel. © Carl Hanser Verlag, München 1.4 Ebene Tragwerke 33 1.4 Ebene Tragwerke 1.4.1 Grundbegriffe Die Grundelemente von Tragwerken sind Idealisierungen von Bau- und Maschinen- bauelementen. Dazu gehören unter anderem Linientragwerke (Seil, Stab, Balken, Bögentäger) und Flächentragwerke (Scheibe, Platte, Schale). Stabachse Balkenachse gekrümmte Balkenachse Stab, Seil Balken Bogenträger (nur Längsbelastung) (Längs-, Momenten- und Querbelastung) (Belastungen wie Balken) Bild 1.23 Linientragwerke Bei Linientragwerken ist die Länge groß gegenüber den Abmessungen des Quer- schnitts (siehe Bild 1.23). Von Stäben und Balken sprechen wir, wenn die Stablängs- achse9 eine Gerade ist. Ein Stab wird nur auf Zug/Druck belastet (Kräfte wirken nur in der Stabachse), während ein Balken zusätzlich auch durch Kräfte senkrecht zur Stabachse (Balkenachse) und durch Momente belastet werden kann. Wenn die Stablängsachse gekrümmt ist, sprechen wir von einem Bogenträger oder einem gekrümmten Träger.10 Scheibe Platte Schale (ebene Mittelfläche, (ebene Mittelfläche, (gekrümmte Mittelfläche, Belastung in der Mittelebene) Belastung beliebig) Belastung beliebig) Bild 1.24 Flächentragwerke Bei Flächentragwerken (siehe Bild 1.24) ist die Flächenausdehnung groß gegenüber der Dicke. Wir unterscheiden auch hier zwischen ebenen und gekrümmten Flächen- tragwerken. Bei einem ebenen Flächentragwerk ist die Mittelfläche eine Ebene. Nach 9 Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte 10 Dabei wirdhäufig noch zwischen schwach und stark gekrümmten Trägern unterschieden. 34 1 Statik der Art der Belastung unterscheiden wir zwischen Scheiben (Belastung erfolgt ausschließlich in der Mittelfläche, siehe Bild 1.24) und Platten (Belastung erfolgt vorrangig senkrecht zur Mittelfläche, kann aber auch zusätzlich in der Mittelfläche erfolgen, siehe Bild 1.24). Wenn die Mittelfläche gekrümmt ist, sprechen wir von einer Schale (siehe Bild 1.24). Es gibt noch weitere Modellannahmen, die in techni- schen Anwendungen zu finden sind. Derartige Modellannahmen werden getroffen, da sich dadurch wesentlich einfachere Berechnungsmöglichkeiten im Vergleich zum allgemeinen dreidimensionalen Fall ergeben. Die Ergebnisse der Berechnungen stimmen um so besser mit der Realität überein, je besser die Modellannahmen erfüllt sind. Es ist eine wichtige Aufgabe des Ingenieurs, sicherzustellen, dass die gewählten Modellannahmen korrekt sind und die daraus resultierenden Fehler im Hinblick auf die Zielstellung der Berechnung vernachlässigbar klein werden. 1.4.2 Lagerung starrer Scheiben Ein Lager bindet eine Scheibe an eine unbewegliche Umgebung. Für eine durch Lager gebundene starre Scheibe gilt, wenn bges die Summe aller Lagerbindungen ist: • die starre Scheibe ist statisch bestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewe- gungsfreiheitsgrade f = 3 – bges = 0 gilt, • die starre Scheibe ist beweglich, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade f = 3 – b ges > 0 gilt, • die starre Scheibe ist statisch überbestimmt gelagert, wenn für die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade f = 3 – b ges < 0 gilt. Wenn das System statisch überbe- stimmt gelagert ist, reichen die Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Lagerreaktionen nicht aus. Die Annahme eines starren Körpers muss dann fallen gelassen werden (siehe Kapitel 2). Neben den schon im Kapitel 1.3.6 erwähnten einwertigen Lagern gibt es noch eine Reihe anderer Lager, die die Anzahl der Freiheitsgrade f der starren Scheibe ein- schränken. Wir wollen nachfolgend die üblichen Lager genauer betrachten und die dafür in Rechnungen üblichen symbolischen Darstellungen einführen. a) Loslager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 1, d. h. das Lager ist einwertig. Praktische Beispiele für Loslager sind − die Stabstütze (Pendelstütze), − das Seil, − das reibungsfreie Auflager, − die reibungsfreie Gleithülse. 1.4 Ebene Tragwerke 35 Von diesen einwertigen Lagern können Stabstützen und reibungsfreie Gleithülsen sowohl Zug- als auch Druckkräfte aufnehmen. Seile können nur Zugkräfte und reibungsfreie Auflager nur Druckkräfte übertragen. Die üblichen symbolischen Darstellungsformen dieser Loslager sind in Bild 1.25 zusammengestellt. Stabstütze (Pendelstütze): Kraftrichtung Kraftrichtung oder starrer Stab Körper Reibungsfreie Auflager: Reibungsfreie Gleithülse: Kraftrichtung Kraftrichtung Kraftrichtung Kraftrichtung Bild 1.25 Darstellung einwertiger Lager (Loslager); gestrichelt = Richtung, in der Kräfte aufgenommen werden Das Foto in Bild 1.26 zeigt die reale Ausführung eines einwertigen Brückenlagers, welches als reibungsfreies Auflager idealisiert werden kann. Detail des Verstellbereichs: Lastaufnahmerichtung 12 cm Verstellrichtung Originallager der Friedrich-Ebert-Brücke Magdeburg (heutige Sternbrücke): Einbauzeit 1918-2000, Rekonstruktion 2000, Verstellbereich 12 cm, Eigengewicht 6,8 t Bild 1.26 Reale Ausführung eines Brückenlagers der Bauart: 4-gliedriges Stelzenlager b) Festlager: Die Anzahl der Bindungen ist b = 2, d. h. das Lager ist zweiwertig. Praktische Beispiele für Festlager sind − reibungsfreies Gleitlager (Scharnier, Gelenk), − Auflage mit Haftung, − Schnittpunkt der Stabachsen zweier Pendelstützen. 36 1 Statik Die üblichen symbolischen Darstellungsformen von Festlagern und der Ersatz von zwei Pendelstützen durch ein Festlager sind in Bild 1.27 dargestellt. Kraftrichtung mit zwei beliebige Kraftrichtungen unbekanntem Winkel α (zweckmäßig senkrecht zueinander) α oder Ersatz zweier Pendelstützen A A durch ein Festlager Bild 1.27 Darstellung zweiwertiger Lager (Festlager); gestrichelt = Richtung, in der Kräfte aufgenom- men werden c) Einspannung: Die Anzahl der Bindungen ist b = 3, d.h. das Lager ist dreiwertig. Neben zwei Lagerkräften (wie beim Festlager) nimmt das Lager auch ein Biege- moment auf. Praktische Anwendungsfälle sind − an eine starre Platte angeschweißter Träger, − in eine Mauer eingefügter Träger (siehe Bild 1.28 a), − durch Schrauben oder Niete mit einer starren Platte verbundener Träger. Die übliche symbolische Darstellung einer Einspannung ist in Bild 1.28 dargestellt. a) Einspannung: b) Bewegliche Einspannungen: Zwei beliebige Kraftrichtungen Eine Kraftrichtung (gestrichelt; senkrecht zueinander (Richtung gestrichelt) zweckmäßig) und ein Moment und ein Moment Bild 1.28 Darstellung einer Einspannung (b = 3) und von beweglichen Einspannungen (b = 2) Hinweis: Eine starre Einspannung ist ein Idealfall, bei dem die Elastizität der Lagerung vernachlässigt wird. So weisen reale Lager in Abhängigkeit von der Ausführung des Lagers eine mehr oder weniger stark ausgeprägte Lagerelasti- 1.4 Ebene Tragwerke 37 zität auf, die gegebenenfalls das Ergebnis entscheidend beeinflussen kann und daher in praktischen Anwendungsfällen genauer untersucht werden muss. Teilweise liegen für reale Lager Messungen der Lagerelastizitäten vor, die bei der Berechnung berücksichtigt werden können. Beispielsweise stellen Schrau- ben- oder Nietverbindungen im Stahlbau typische elastische Verbindungsele- mente dar, deren Elastizität in den meisten Fällen jedoch unberücksichtigt bleibt. Ob allerdings diese Modellannahme gerechtfertigt ist, muss im Einzel- fall gesondert untersucht werden. Es gibt aber auch bewegliche Einspannungen, die zwar ein Lagermoment aufneh- men können, das Tragwerk aber nur in einer Richtung fixieren. Die Anzahl der Bindungen ist in diesem Fall b = 2. Ein typisches Beispiel ist ein mit Führungen derart an einer starren Mauer befestigter Träger, dass er sich nur in vertikaler Richtung bewegen kann oder eine Welle, die längsverschieblich in einer starren Hülse geführt wird (siehe Bild 1.28 b). 1.4.3 Streckenlasten 1.4.3.1 Definition von Streckenlasten Streckenlasten sind auf eine Linie bezogene q(z) ∆Fi verteilte Lasten (siehe Bild 1.